Mes recherches
J’effectue mes travaux de recherche sous la direction de Nicolas Jacon et Thomas Gerber dans l’équipe Groupes et Quantification du Laboratoire de Mathématiques de Reims.
Thèmes de recherche
Problème de Mullineux
Le problème de Mullineux est un problème classique en théorie des représentations modulaires du groupe symétrique, apparu dans les années 1970.
Le cadre de l’algèbre de groupe \(k[\mathfrak{S}_n]\)
Le problème de Mullineux repose sur l’étude du module simple obtenu en effectuant le produit tensoriel d’un \(k[\mathfrak{S}_n]\)-module simple par la représentation signe.
Cas ordinaire
Supposons dans un premier temps que \(\text{car}(k) = 0\) ou \(p > n\).
L’algèbre de groupe \(k[\mathfrak{S}_n]\) est semi-simple en vertue du théorème de Maschke (\(p \nmid n!\)).
En particulier, les \(k[\mathfrak{S}_n]\)-modules simples sont exactement les modules de Specht \(S^\lambda\), paramétrés par les partitions \(\lambda\) de \(n\). Il convient alors de s’intéresser à la partition \(\lambda'\) telle que : \[S^{\lambda'} \cong S^\lambda \otimes \text{sgn}.\] Dans ce cadre, \(\lambda'\) correspond simplement à la partition conjuguée (transposée du diagramme de Young) de \(\lambda\).
Cas modulaire
Supposons dorénavant que \(\text{car}(k) = p\) avec \(0 < p \le n\).
Dès lors, \(p \mid n!\) et l’hypothèse du théorème de Maschke n’est plus vérifiée. En particulier, l’algèbre de groupe \(k[\mathfrak{S}_n]\) n’est pas semi-simple et les modules de Specht \(S^\lambda\) ne sont plus nécessairement irréductibles.
Néanmoins, les \(k[\mathfrak{S}_n]\)-modules simples, notés \(D^\lambda\), sont classifiés par les partitions \(p\)-régulières.
Il convient alors de s’intéresser à la partition \(p\)-régulière \(\mu\) telle que : \[D^\mu \cong D^\lambda \otimes \text{sgn}.\] Dans le cas présent, la règle de conjugaison usuelle ne s’applique plus. Le problème de Mullineux consiste à donner une description combinatoire directe de \(\mu = m(\lambda)\).
Généralisation aux algèbres d’Iwahori-Hecke \(\mathcal{H}_q(\mathfrak{S}_n)\)
Cette problématique s’étend naturellement aux algèbres d’Iwahori-Hecke, notées \(\mathcal{H}_q(\mathfrak{S}_n)\), qui constituent des déformations quantiques de l’algèbre de groupe \(k[\mathfrak{S}_n]\).
Spécialisation ordinaire
Lorsque le paramètre quantique \(q=1\), les relations qui définissent l’algèbre de Hecke sont les mêmes que celles définissant l’algèbre de groupe \(k[\mathfrak{S}_n]\). Dans cette configuration, \[\mathcal{H}_1(\mathfrak{S}_n)\cong k[\mathfrak{S}_n],\]
Spécialisation modulaire
Lorsque \(q\) est une racine \(e\)-ème primitive de l’unité, la théorie des représentations de l’algèbre \(\mathcal{H}_q(\mathfrak{S}_n)\) est semblable à celle de \(k[\mathfrak{S}_n]\) en caractéristique \(p=e\) : ses modules simples sont également paramétrés par les partitions \(e\)-régulières et la combinatoire intrinsèque est identique.
Ainsi, l’analogue du produit tensoriel par la représentation signe est donné par l’automorphisme de signe quantique défini sur les générateurs de l’algèbre par : \[\sharp : \mathcal{H}_q(\mathfrak{S}_n) \longrightarrow \mathcal{H}_q(\mathfrak{S}_n), \quad T_i \mapsto -q T_i^{-1}.\] Pour un module simple \(D^\lambda\) associé à une partition \(e\)-régulière \(\lambda\), le module tordu par \(\sharp\) reste simple et est isomorphe à \(D^{m_e(\lambda)}\).
Outre le retour en caractéristique \(0\), cadre privélégié de la géométrie linéaire classique, le passage aux algèbres d’Iwahori-Hecke permet de faire le lien avec la théorie des cristaux et avec l’algèbre enveloppante universelle \(U(\widehat{\mathfrak{sl}}_e)\) et son analogue quantique affine \(U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_e)\).
Objectif de la thèse
Plusieurs algorithmes permettent de calculer l’involution de Mullineux. L’objectif premier de ma thèse est d’étudier une conjecture combinatoire intervenant dans une nouvelle procédure de calcul proposée par N. Jacon et C. Lecouvey. Il sera ensuite question de comprendre le rôle joué par la dualité niveau-rang puis d’explorer l’analogue de ce problème en niveau supérieur.